Возможный мир, в котором теорема Гёделя не доказана.

Е. В. Глебов

 

Новосибирский государственный медицинский университет.

glebov99@ngs.ru

 

Практически с момента публикации в 1931 году теорема Гёделя послужила основанием множества теоретико-методологических и гносеологических построений. При этом зачастую область интерпретации лежит далеко от арифметики и логики, для которых доказаны математические теоремы Гёделя. «В философии математики весьма значительное место занимает обсуждение так называемых философских следствий из важных математических результатов. Такого рода обсуждения ограничительных теорем Геделя и Тарского заполняют журналы и книги, производя впечатление, что интерпретация математических теорем почти неизбежно следует из формулировки самих теорем» [1]. Более того, именно интерпретации в духе утверждения «любая система аксиом неполна» и следствий из этого утверждения, и считаются «Теоремой Гёделя». Независимо от того, к какой области относятся эти «аксиомы», или то, что автор интерпретации считает таковыми. Пик подобных интерпретаций приходится на 1970 – 1980-е гг., однако вплоть до нынешнего времени такие интерпретации широко распространены, включая учебники по философии, концепциям современного естествознания, теории аргументации и т.д. Таким образом, эта формулировка «Теоремы Гёделя» является важным фактором современного сциентоориентированного мировоззрения и источником множества гносеологических построений как философского, так и квазифилософского характера. В отличие от математической интерпретации такую формулировку можно именовать «метафизической теоремой Гёделя»

Однако, поскольку существуют сомнения не только в адекватности интерпретаций, но и доказанности собственно теорем Гёделя [2], мы имеем право рассмотреть возможность истинности утверждений, отрицающих расхожую формулировку «любая система аксиом неполна», или, во всяком случае, предполагающую возможность неистинности этой формулировки. В данной работе мы будем исходить из возможности истинности утверждения «существуют аксиомы и следствия из них, которые образуют полную систему».

В этом случае допустимы суждения:

1. «не существуют аксиомы и следствия из них, которые образуют полную систему».

2. «существуют аксиомы и следствия из них, которые образуют полную систему».

3. «возможно, существуют аксиомы и следствия из них, которые образуют полную систему».

4. «возможно, не существуют аксиомы и следствия из них, которые образуют полную систему».

Первый и четвёртый варианты определяют общепринятую теорему Геделя в формальной и модальной логике. Второй и третий предполагают существование возможного мира, в котором истина достижима путём последовательных интерпретаций. Это возвращает нас к варианту старой марксисткой теории приближения к абсолютной истине. Однако возможен и вариант постижения абсолютной        истины путём интроспекции возможного мира, в котором реализуются языки истины и лжи [3]. В качестве примера рассмотрим 2 аксиомы. 1. Любое отрицание Бога – есть сатанизм. 2. Бог есть непознаваемое благо. Это канонические утверждения христианской теологии. Следовательно: Всё познаваемое благо – есть сатанизм.

Отсюда, как правило, делают вывод, что всякий стремящийся познать благо – сатанист. (В частности, таковы марксисты). Однако не всё так просто. Как известно, квантор всеобщности эквивалентен отрицанию существования противоположности. Проще говоря – «всё» - это тоже самое, что «обратного не существует». То есть: Не существует познаваемого блага, которое не есть сатанизм. Законен вопрос – а что, всё-таки, существует? Известно, если чего-то не существует, то МОЖЕТ существовать только противоположное ему. Актуализировать это потенциальное существование можно только указанием на пример реально существующих объектов этого возможного класса (семантика Крипке). То есть, если нам дано, что «Акулов не бывает» - то могут существовать тигры – но как минимум котёнка мы должны предъявить. Так вот, в окончательной форме Следствия из аксиом, кроме кванторов, у нас есть 3 понятия – познаваемое, благо, сатанизм. Соответственно, применив указанный аппарат, избавившись от всех лишних кванторов, мы можем сформулировать только три возможности существования, и для непустоты этих классов к каждой нужен пример из реальности.

Итак, вариантов три:

1. Если существует, то существует непознаваемое благо, которое есть сатанизм.

2. Если существует, то существует познаваемое неблаго, которое есть сатанизм.

3. Если существует, то существует познаваемое благо, которое  не есть сатанизм.

Реальная сущность из класса 1: собственно теоретический сатанизм (обратите внимание, что вдобавок это и есть перевёрнутое определение Бога из аксиомы 2). Например, концепции избранной расы и/или религии, «золотого миллиарда» и т.п.

Реальная сущность из класса 2: практический сатанизм. Всяческие мерзкие деяния, например, любая тоталитарная секта.

Реальная сущность из класса 3: научное познание. Например, позитивистская теория познания.

Существенным для такого исследования является также методический принцип анализа фактов, как эмпирического обобщения информации о серии наблюдений, проводимых в соответствии с твёрдо оговорённой методикой. Дело в том, что, как правило, рассуждая о фактах, на самом деле имеют в виду неструктурированную груду данных и сведений, называя именно это «эмпирикой». Информация есть взаимосогласованное кодирование фактов действительности. При этом согласование есть не процедура, организуемая взаимодействующими субъектами, а процесс, рассматриваемый как исторически сложившийся, и обуславливающий и процедуры согласования, и формы кодирования. Данные – информация, зафиксированная в квазистатическую форму для долговременного хранения. В рассуждениях, зачастую даже философских, хранение как целевая причина фиксации свёртывается или даже отбрасывается. Всегда следует помнить, что информация – это процесс, и в этом смысле порождается и соотносится с понятием действительности тоже как процесса, информация функционирует в действительности как среде. Когда, пусть даже неосознанно, подменяют, в том числе уравнивают информацию и данные, получаются рассуждения о реальности как о статических результатах, то есть ложная объективность. Грубая ложность возникает, когда в данных цель хранения отброшена, мягкая – когда свёрнута. Когда информацию и данные путают и не проводят чёткого разграничения, их смешивают в произвольных комбинациях, получая вместо них сведения.

Таким образом, возможно существование семантических интерпретаций отсутствия теоремы Гёделя в реальном мире, который достаточен для существования возможности обнаружения абсолютной истины в исторических, философских, математических исследованиях. Если достижима реализация математической и метафизической теоремы Гёделя на физический мир, то возможны аксиомы, которые соответствуют абсолютной истине.

 

Литература:

1. Целищев В.В. Математика и философия: технические детали и философские интерпретации. // Философия науки № 2 (13) 2002, Новосибирск, 27 – 43

2. Бессонов А.В. Мифы о теоремах Геделя // Наука. Философия. Общество. Материалы V Российского конгресса. Том 1. – Новосибирск: Параллель, 2009. С. 127

3. Глебов Е.В. Философское значение логического анализа «расширенного семантического рая». // Современная логика: Проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы VII Общероссийской научной конференции. 20-22 июня 2002 г. СПб, 2002, стр. 226 – 228